Hace un tiempo cayó en mis manos el libro “Cincuenta cosas que hay que saber de matemáticas” de Tony Crilly. Este es un libro muy recomendable para todos aquellos que quieran saber algo de matemáticas. Libros de divulgación de matemáticas hay muchos y buenos, con autores destacados y consagrados como Martin Gardner, con sus matemáticas recreativas, o John Allen Paulos, que puso el dedo en la llaga con “El hombre anumérico”, por citar a dos grandes y sin ánimo de hacer una lista exhaustiva. El libro de Tony Crilly me ha parecido sumamente ameno de leer, con un formato de cincuenta capítulos ligeros, todos de cuatro páginas, bien escritos, sin entrar en grandes complejidades y aportando abundantes notas históricas. Es verdad que a menudo cae en algunas frases sintéticas que no tienen mucho sentido y pueden despistar al lector, pero en general se lee bien y lo veo accesible para público de talla M.

Hay mucha gente que se asusta ante las matemáticas, a las que cogieron miedo en su etapa escolar y que consideran que son algo que está por completo fuera de su alcance. Sin embargo, cuando se muestran, y se pueden mostrar, sin grandes formalismos, teoremas, ecuaciones, tablas, diagramas complejos y manipulaciones simbólicas, la cosa cambia y de repente surge el interés y posiblemente la maravilla ante ideas y conceptos que presentan una belleza intrínseca que nos pasa desapercibida.

Una de las formas más amenas y comprensibles para adentrarse en las matemáticas es a través de los números. Los números son lo menos abstracto de las matemáticas, ya que están asociados a la habilidad de contar y comparar cosas y conjuntos de cosas. No es habitual encontrarse problemas complejos de análisis matemático, pero todos nos enfrentamos a diario a contar y a tener que realizar operaciones elementales que constituyen lo que se conoce como aritmética básica (suma, resta, multiplicación y división). En esta docena voy a hacer un repaso muy sencillo de algunos de los números más famosos e importantes de las matemáticas. Para escribir la siguiente lista me he basado en algunos capítulos del libro de Tony Crilly, aunque también en viejos apuntes que he desempolvado de la carrera (en Físicas se estudian muchas matemáticas y los físicos amamos las matemáticas, más de lo que los matemáticos aman la Física). Espero que nadie se quede atascado en algún punto de la lista. Y si así ocurre, mi consejo es no desanimarse y seguir adelante, o buscar en otros sitios hasta que se disipe la niebla.

1. El 0

ceroEl cero es el número de castañas que hay en una cesta vacía. Nombra la “nada”. Los antiguos griegos y romanos carecían de una forma de lidiar con el vacío. No sabían contar “nada”. El cero lo introduce en occidente Fibonacci en 1202.

El problema del cero radica principalmente en cómo integrarlo en la aritmética de una forma precisa. La suma y la multiplicación con el cero son sencillas. La resta, entendida como sustracción al vacío de un número cualquiera lleva a los números negativos. De hecho, el cero es el número que separa a los números positivos de los negativos.

Es la división que implica al cero la que plantea dificultades, aunque realmente sólo cuando aparece en el denominador. 0/1 = 0, o dicho de otra forma, de dónde no hay no se puede sacar nada. Pero ¿1/0? Una posibilidad es decir que cualquier número entre cero es infinito, ya que según disminuimos el denominador aumenta el cociente. Dicho de otra forma, si cortamos una tarta en trozos cada vez más pequeños, tendremos cada vez más trozos… 1/0,1 = 10, 1/0,01 = 100, 1/0,001 = 1000, y así indefinidamente… Lo cual nos lleva a enfrentarnos a otro “número”, el infinito, el cual tampoco se ajusta a las reglas de la aritmética habituales. Y por lo tanto hemos creado otro problema. ¿Y qué ocurre cuando tenemos 0/0? Pues que básicamente puede ser cualquier cosa, y por eso los matemáticos dicen que 0/0 es indeterminado. Afortunadamente podemos hacer aritmética sin la división por cero.

2. El 1

unoEl uno es posiblemente el más antiguo de todos los números. Ya los hombres primitivos hacían marcas en los huesos, en lo que parece un primer intento de registrar un conteo, ya que uno representa la unidad sobre la que basar cualquier cuenta que queramos hacer de forma trivial.

El uno lo podemos identificar con un dedo de la mano, y es precisamente el uso de los dedos de las manos la forma más inmediata de empezar a contar. Posiblemente por eso el uno aparece en casi todas las culturas representado por un trazo (vertical, horizontal, o más menos sinuoso).

El uno representa la identidad multiplicativa de todos los números, es decir, cualquier número multiplicado por uno vuelve a darnos ese número. El uno también representa el ordinal primero. Es además el primer número de muchas sucesiones matemáticas (secuencias de números que siguen alguna lógica).

El uno aliado con el cero da lugar al sistema binario con el que se pueden representar todos los números utilizando solamente las cifras 0 y 1. El inconveniente que acarrea esta economía es que las expresiones numéricas pueden ser muy largas. Por ejemplo, 394 en binario es 110001010. Sin embargo, es un sistema muy adecuado para las computadoras debido a que trabajan internamente con dos niveles de voltaje (encendido 1, apagado 0).

Hay un documental fascinante e instructivo de la BBC (como no podía ser de otra forma) “Historia del Uno” presentado por el Monty Python Terry Jones que lo cuenta todo de forma más divertida de lo que yo lo puedo hacer aquí.

http://youtu.be/RrqXOaK50pY

3. El 2

primosDespués del cero y el uno viene el dos.
Puede parecer que es, sin más, el siguiente de la serie, pero no es un “segundón”. De hecho el dos tiene el honor de ser el primero de dos grandes grupos de números.

Uno de esos grupos es el de los números pares.
Y el otro es el de los números primos. Un número primo es un número que sólo es divisible por él mismo y por el uno. El estudio de los números primos es lo más básico de lo básico de las matemáticas. Son como los átomos de las matemáticas, ya que pueden unirse para formar compuestos matemáticos. Esto es lo que se conoce como “teorema de descomposición de los números primos”. Este teorema dice que todo número entero puede escribirse como el producto de números primos exactamente de una única manera. Por ejemplo: 20 = 5×2×2, o 6.545.448 = 2×2×2×3×3×7×13×57.

No hay fórmulas establecidas para identificar los números primos y sus apariciones parecen no seguir ningún patrón (no podemos predecir si un número es primo o no, ni anticipar el siguiente). Hay infinitos números primos, tal y como ya demostró Euclides en sus famosos “Elementos”. Esta demostración no impide que haya mucha gente que se dedique a buscar el mayor número primo conocido en una competición aparentemente absurda.

4. Raíz cuadrada de 2

raíz cuadrada de dosTambién conocido como el “número pitagórico”.

Pero ¿qué tiene de particular raíz cuadrada de 2? El símbolo √ es el que representa a la raíz cuadrada del número que lo acompaña y supone la operación inversa de elevar un número al cuadrado (multiplicarlo por si mismo). Dicho de otro modo, para un número dado, su raíz cuadrada es el número que multiplicado por si mismo nos da el número de partida.

Veamos qué ocurre si introducimos un 2 en la calculadora y pulsamos la tecla con el símbolo √. La pantalla nos devuelve 1,4142…. ¿Es ésta la raíz cuadrada de 2? Para comprobarlo basta multiplicar 1,4142 por si mismo y obtenemos… ¡Vaya! Obtenemos 1,9999, que no es 2. Lo sorprendente es que por muchos decimales que nos devuelva una calculadora o un ordenador en un cálculo de raíz cuadrada de 2 solo llegaremos a obtener una aproximación. ¡La expansión decimal de √2 a millones de decimales sólo será una aproximación!

¿Qué esta ocurriendo? ¿Qué tipo de número es √2? ¿Es una fracción, es decir, lo podemos expresar como un cociente de dos números enteros?. NO (como se puede demostrar por reductio ad absurdum). Pues bien, a los números que no pueden expresarse en fracciones y tienen una lista interminable de decimales sin ningún patrón se les denomina “números irracionales”. Estos números rellenan los infinitos huecos que hay en la recta real entre números enteros y fraccionarios.

5. El número pi, π

el número piSin duda, el número más famoso de las matemáticas.

π es la longitud de una circunferencia dividida por su diámetro. El valor de π no depende del tamaño del círculo que encierra la circunferencia. ¡π es una constante matemática! También aparece en el área del círculo, en el volumen de la esfera, y, en general, en el área de la superficie y en el volumen de todas las formas que se generan girando una figura plana (cuerpos de revolución).

Sin embargo, la presencia de π trasciende la geometría y está presente en muchos campos de las matemáticas (por ejemplo, en probabilidad y estadística, o en análisis complejo). Al igual que ocurría con √2, es imposible saber el valor exacto de π, porque también es un número irracional, su expansión decimal es infinita y no sigue ningún patrón.

El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el siguiente número de esta lista.

El matemático F. von Lindemann resolvió el problema más extraordinario relacionado con π. Demostró que π es un número “trascendente”, es decir que π no puede ser la solución de una ecuación algebraica (una ecuación que sólo implica potencias de x, como la famosa ecuación cuadrática). Pero mejor no enredarse y mantener a raya el nivel de esta entrada.

6. El número e

eSí, el número e, el de esto “crece exponencialmente”… ¿Quién no ha oído esta expresión?

Su valor aproximado es 2,71828. Salió a la luz en el siglo XVII cuando varios matemáticos consagraron sus esfuerzos para aclarar la idea del logaritmo, la genial invención que permitió convertir la multiplicación de números muy grandes en suma.

No seguiré por aquí para no perder la atención de los lectores a los que oír la palabra logaritmo les produce escalofríos. Después de introducir √2 y π, y si hemos sido capaces de leer hasta aquí, podemos decir de golpe dos cosas del número e sin despeinarnos: que es un número irracional y que es un número trascendente.

Que e es irracional lo demostró el gran Leonard Euler en 1737. En 1873, Charles Hermite demostró que e es trascendente, siguiendo el mismo método que adoptó Lindemann para demostrar que π es trascendente.
e es una constante matemática que se encuentra, sobre todo, en problemas de crecimiento. Por ejemplo en el crecimiento económico (lamentablemente, ay, también en el decrecimiento…), el crecimiento de poblaciones, etc. Pero, al igual que π, su presencia en las matemáticas es casi ubicua, apareciendo en la teoría de probabilidades, en la teoría de distribuciones, etc., siendo la lista de apariciones estelares interminable.

7. (1+ √5)/2

razón áurea¿Cómo? Esto se está poniendo cuesta arriba. Porque visto así, esa expresión puede darnos hasta miedo. Pero si escribimos ese número irracional (ya podemos hablar con jerga matemática a estas alturas de la docena) con una letra griega, pongamos ϕ, y decimos que es la razón áurea la cosa cambia.

La razón o proporción áurea se encuentra en numerosos cuerpos de la naturaleza (como girasoles, conchas marinas, etc.) y obras de arte y arquitectónicas, al considerar algunos que es la proporción perfecta y más equilibrada para el diseño de formas, piezas, estancias y edificios. El número ϕ define el rectángulo “más hermoso”, aquel tal que su área es ϕ veces la del rectángulo sobrante de eliminar el cuadrado que se forma con el lado menor del rectángulo.

En ocasiones hay quien llega al paroxismo de “numerismo áureo”, como en el libro de Dan Brown “El código Da Vinci”, que consiste en ver proporciones áureas por todas partes e incluso suponer que esta proporción tiene un carácter preexistente y es “el patrón de la naturaleza”.

Quedándonos en el mundo del más acá de las matemáticas, ϕ es el límite al que tienden los cocientes de los términos consecutivos de la más famosa de las sucesiones matemáticas, la sucesión de Fibonacci. Su valor aproximado es 1,618. Con un poco de trabajo se puede demostrar que cada número de Fibonacci puede escribirse en términos de ϕ. Pero esto lo dejo ya para lectores avanzados, aunque cualquiera puede fácilmente demostrar que ϕ2 = ϕ +1.

8. El número i

ie, π, ϕ, ahora i… Pero ¿esta docena no iba de números? Cuando a un número se le asigna una letra adquiere un rango especial, como si entrara en una casta superior.

Si tomamos un número cualquiera y lo multiplicamos por sí mismo, siempre obtenemos un número positivo, el cuadrado de dicho número. Si pensamos en los números solo en términos de la recta de los números reales, nos conformamos con la afirmación anterior.

Sin embargo, podemos dar un intrépido paso y proponer una nueva entidad numérica, que denotaremos mediante i, de forma que, voilà, i2=-1.

Con este nuevo número podemos generar toda una nueva clase de números que llamaremos imaginarios sin más que multiplicar por i a cualquier número real. E incluso más, agregando un número real y un número imaginario obtenemos lo que se llama un “número complejo”, que tiene la forma a + ib, siendo a y b dos números reales cualesquiera.

Para las matemáticas la existencia de los números imaginarios y los complejos no es ningún problema. De hecho, los números complejos gozan de todas las propiedades de los números reales y cumplen las reglas habituales de la aritmética. Y aunque los números imaginarios no nos sean de gran utilidad cuando vamos a hacer la compra, para cualquier diseñador aeronáutico o ingeniero eléctrico, por mencionar solo dos ejemplos, tienen una importancia fundamental.

9. El 6

números perfectosDespués de estos ilustres números que hemos presentado ¿Qué pinta un número aparentemente vulgar como el seis en esta docena?

Simple y llanamente el número seis es un ¡número perfecto!

En realidad, el número perfecto más pequeño. ¿Y cómo es un número perfecto? En función de las relaciones entre los números y sus divisores se pueden establecer categorías de números. Los divisores de un número son todos los números por los que se puede dividir de forma exacta dicho número.

Si tomamos, por ejemplo, el número 30, podemos ver que sus divisores son 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30. Si excluimos el propio 30, los demás divisores suman 42. Decimos entonces que el 30 es un número abundante, ya que la suma de sus divisores es mayor que él mismo.

Por el contrario, un número es deficiente si la suma de sus divisores es menor que él mismo. Por ejemplo, el 26 es un número deficiente. ¡Los números primos son muy deficientes, porque la suma de sus divisores es siempre solamente 1!
Un número que no es ni abundante ni deficiente se dice que es ¡perfecto! La suma de los divisores de un número perfecto es igual al propio número.

El 6 es el primer número perfecto, el siguiente es el 28. Después del 28 hay que esperar hasta el 496 para dar con el siguiente número perfecto. Los siguientes entran ya en la estratosfera (el quinto es 22.550.336). No se sabe si hay uno que sea el mayor de todos, o si siguen avanzando sin límite. La opinión general sugiere que, al igual que los primos, prosiguen eternamente.

10. El 10

diezAsí como podemos asociar el uno con un dedo para iniciar el conteo, el diez es la suma de los dedos de ambas manos. Llegar a conceptualizar el diez es un poderoso avance en el desarrollo de la abstracción, incluye al uno como unidad relativa y al cero como cifra y como posición.

El diez era un número importante y singular para los pitagóricos. Aunque deficiente, el número de primos entre 1 y 10 (2, 3, 5, 7) es igual al de no primos (4, 6, 8, 9). Además 1+2+3+4=10, suma conocida entre los pitagóricos como Tetraktys. Esta es una palabra griega que se aplicaba a un símbolo de Pitágoras que se compone de diez puntos distribuidos en forma triangular.

Sin embargo, si por algo se caracteriza el número 10 es por ser la base del sistema numérico decimal. Un sistema numérico es la forma en que representamos los números. Todos hemos aprendido alguna vez el sistema romano con sus combinaciones de I, V, X, L, C, D y M que todavía se utiliza para numerar páginas o los siglos. En el sistema decimal las cantidades se representan utilizando como base las potencias del número 10 combinadas con las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 (notación arábiga). El sistema decimal es un sistema posicional, en el sentido de que el valor de cada digito depende de su posición dentro de un número. Así cuando anotamos 394, podemos explicar su significado decimal diciendo que está compuesto por 3 centenas, 9 decenas y 4 unidades y podríamos escribir: 394 = 3×102 + 9×101 + 4×100 (todo número elevado a cero es igual a 1, como es fácil demostrar).

Y, más allá de su importancia matemática, el número 10 es un número clave en nuestra cultura, que lo asocia a la excelencia y la completitud.

11. El infinito

infinito¡Qué pereza de número! Pero ¿es realmente un número? ¿Expresa una cantidad? ¿Cómo de grande es el infinito?

La respuesta breve y más sencilla es que es “muy grande”.

Por cada número astronómico que imaginemos, por ejemplo 1.000.000.000.000, siempre hay uno más grande, como 1.000.000.000.000 + 1. Esta es una idea tradicional del infinito, en la que los números siguen sucediéndose interminablemente. De la misma forma, podemos extender el infinito hacia lo pequeño, con la idea de fraccionar una recta en partes más pequeñas cada vez de forma indefinida pero sin llegar a cero, dando lugar a lo que se conoce como infinitesimal.

Se atribuye a John Wallis el mérito de ser el primero en usar el símbolo del “nudo del amor” ∞ para representar el infinito. Las matemáticas usan el infinito de muchas maneras, pero hay que tener cuidado de no tratarlo como un número normal, porque no lo es.

Nos ocurre como con el cero, que hay algunas operaciones que no sabemos muy bien cómo tratar, como por ejemplo la división de un infinito por un infinito, o la multiplicación de infinito por cero, de las que decimos que son indeterminados. Porque no todos los infinitos son iguales: algunos son más “gordos” que otros.

Fue el alemán Georg Cantor quien en el siglo XIX primero trató con rigor la idea del ∞, especificando distintos ordenes de infinito. La idea de la que depende la teoría de Cantor tiene que ver con una forma primitiva de conteo que se basa en establecer correspondencias entre los elementos de dos conjuntos. No es muy difícil entender los razonamientos de Cantor, pero no voy a entrar en detalles técnicos. Sólo diré que Cantor estableció que no todos los infinitos son igual de grandes. Siguiendo su línea de pensamiento uno se encuentra de repente con que se quiebra uno de los principios de los Elementos de Euclides que dice que “el todo es mayor que la parte”. Por ejemplo, se puede establecer una correspondencia de uno a uno entre los números naturales pares y el conjunto de los números naturales… Alucinante ¿verdad? Os animo a que indaguéis en la teoría de Cantor si queréis experimentar el vértigo de lo infinito.

12. Por supuesto, el 12

unadocenade logoEl doce es el número que define una docena de cualquier serie de cosas. Es, sin duda, el número de este blog. Y por ello se merece una atención especial.

No hace falta indagar mucho para darse cuenta de que el doce también es un número curioso. Es el número más pequeño con seis divisores, 1, 2, 3, 4, 6, 12, y es un número altamente compuesto, es decir, tiene más divisores que cualquier entero positivo inferior.

El 12 es un número abundante, de hecho es también el primer número abundante. Incluso es más que abundante, es un número sublime, es decir que tiene un número perfecto de divisores, 6 en este caso, y la suma de todos ellos es también un número perfecto (28). Solo hay dos números sublimes conocidos, el propio 12 y ¡un número de gigantesco de 76 cifras!
Podríamos seguir contando muchas más cosas del número 12. Podríamos incluso plantearnos escribir una docena de características del número 12 como si de una muñeca rusa se tratara. Yo paro aquí y lanzo el testigo a “la nube”.

Quiero terminar con la imagen que ilustra esta docena. Relaciona cinco de los números más importantes de las matemáticas. Es la famosa identidad de Euler, e + 1 = 0. Espero que ahora podáis contemplar toda su belleza.

Fotografía destacada de Derek Bruff, con licencia Creative Commons.


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Igor Campillo

Sobre Igor Campillo


Soy director ejecutivo de Euskampus Fundazioa. Licenciado y Doctor en CC. Físicas por la UPV/EHU. Experto universitario en periodismo y comunicación científica por la UNED. Añoro los tiempos de investigador, pero he descubierto que la gestión también puede ser apasionante.